مثير للإعجاب

هل كان لدى أرخميدس أي طلاب؟

هل كان لدى أرخميدس أي طلاب؟


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

نحن نعلم أن أرخميدس تعلم الكثير من والده ، فيدياس (الذي كان عالم فلك) وعلى الأرجح درس في الإسكندرية ، جنبًا إلى جنب مع معاصرين عظماء آخرين مثل إراتوستينس من قورينا وكونون أوف ساموس ، الذين تعاون معهم وتواصل معهم بشأنه. الشغل.

ومع ذلك ، هل نعرف على الإطلاق ما إذا كان لدى أرخميدس أي طلاب كان سيعلمهم شخصيًا؟


كتب صديق له يدعى هيراكليدس سيرة ذاتية ، لكنها ضاعت لذا فإن تفاصيل سيرته الذاتية غير معروفة.

لكن بعد قراءة سيرته الذاتية ، (في رأيي) لا أعتقد أنه كان لديه أي طلاب. الاقتباس أدناه مأخوذ من ويكيبيديا

على عكس اختراعاته ، لم تكن الكتابات الرياضية لأرخميدس معروفة في العصور القديمة. قرأ علماء رياضيات من الإسكندرية واقتبسوا منه ، لكن التجميع الشامل الأول لم يتم حتى ج. 530 بعد الميلاد من قبل إيزيدور من ميليتس في القسطنطينية البيزنطية ، في حين أن التعليقات على أعمال أرخميدس التي كتبها يوتوسيوس في القرن السادس الميلادي فتحت أبوابها لقراء أوسع لأول مرة.

أعتقد أنه إذا كان لديه أي طلاب ، فسيساعدون أكثر في نشر كتاباته الرياضية أو

ورد أن الجنرال مارسيلوس كان غاضبًا من وفاة أرخميدس ، حيث اعتبره رصيدًا علميًا ثمينًا وأمر بعدم تعرضه للأذى. دعا مارسيلوس أرخميدس "برياريوس الهندسي".

أعتقد أنه إذا كان هناك أي طلاب ، أعتقد أن الجنرال سيطلب منهم أو ربما كانت هناك حرب كان على الطلاب المشاركة فيها.

في الختام ، نظرًا لعدم وجود سيرة ذاتية (وبعض الافتراضات التي قدمتها أعلاه) ، فمن غير المرجح أن يكون لديه أي طلاب.


في هذا الوقت من غير المعروف ما إذا كان أرخميدس لديه أي طلاب أو يدير مدرسة- (على غرار مدرسة أرسطو الثانوية أو أكاديمية أفلاطون). إذا كنت سأقدم تخمينًا متعلمًا - (بناءً على القليل الذي أعرفه عن سيرة أرخميدس) ، فسأقول ... ربما لا. وفقًا لمعايير اليوم ، كان أرخميدس عالمًا محترفًا ومخترعًا مشابهًا لشخص ما ، مثل توماس إديسون. بسبب كثرة الاختراعات والكتابات ذات التوجه الرياضي ، لست متأكدًا من أن أرخميدس كان لديه الوقت للتدريس! ربما كان لديه نسخته الخاصة من مساعدي التدريس أو البحث- (على غرار مدرسة أرسطو الثانوية) ، على الرغم من أنه بناءً على الدليل الحالي لدينا ، يبدو أنه غير مرجح.

ومع ذلك ، لا أعتقد أنه من المستحيل أن يكون لدى أرخميدس مدرسة أو مجموعة من الطلاب في سيراكوزا ، صقلية ، أو ربما كان أرخميدس قد حصل على ما يعادل الأستاذية الزائرة أو الزمالة التعليمية في جامعة الإسكندرية في مصر. العديد من المفكرين العلميين والفلسفيين اليونانيين الرئيسيين الذين يعود تاريخهم إلى طاليس (أبو العلوم والفلسفة الغربية) ، كانوا أيضًا معلمين ومعلمين. ديموقريطس ، فيثاغورس ، زينو ، هيراكليتس ، سقراط ، أبقراط ، أفلاطون ، أرسطو ، أبيقور وهيباتيا ، كانوا جميعًا مدرسين ومعلمين محترفين ، بينما كانوا يتابعون أيضًا الكتابات العلمية و / أو الفلسفية والبحث. لذلك ليس بالضرورة أن يكون أرخميدس جزءًا من التقاليد الفكرية اليونانية القديمة التي استمرت لقرون.

ومع ذلك ، في هذه المرحلة الزمنية ، لا يوجد دليل أولي يدعم مثل هذا الادعاء النظري أو الظرفية ، وبالتالي ، فإنه لا يزال غير معروف.


أرخميدس (287 - 212 قبل الميلاد)

نقش أرخميدس © كان أرخميدس عالم رياضيات وفيلسوفًا ومخترعًا يونانيًا كتب أعمالًا مهمة في الهندسة والحساب والميكانيكا.

وُلد أرخميدس في سيراكيوز على الساحل الشرقي لجزيرة صقلية وتلقى تعليمه في الإسكندرية في مصر. ثم عاد إلى سيراكيوز ، حيث أمضى معظم بقية حياته ، مكرسًا وقته للبحث والتجريب في العديد من المجالات.

في الميكانيكا ، حدد مبدأ الرافعة وكان له الفضل في اختراع البكرة المركبة والمسمار الهيدروليكي لرفع المياه من مستوى أدنى إلى مستوى أعلى. اشتهر باكتشافه لقانون الهيدروستاتيكا ، الذي يُعرف أحيانًا باسم "مبدأ أرخميدس" ، الذي ينص على أن الجسم المغمور في السائل يفقد وزنًا مساويًا لوزن كمية السوائل التي يزيحها. من المفترض أن يكون أرخميدس قد توصل إلى هذا الاكتشاف عندما دخل إلى حمامه ، مما جعله يهتف "يوريكا!"

أثناء الفتح الروماني لصقلية عام 214 قبل الميلاد ، عمل أرخميدس لصالح الدولة ، وتم استخدام العديد من أجهزته الميكانيكية في الدفاع عن سيراقوسة. من بين آلات الحرب المنسوبة إليه المنجنيق - وربما الأسطوري - نظام المرآة لتركيز أشعة الشمس على قوارب الغزاة وإشعالها. بعد القبض على سيراكيوز ، قتل جندي روماني أرخميدس. يقال إنه كان مستغرقًا في حساباته لدرجة أنه أخبر قاتله ألا يزعجه.


هل كان لدى أرخميدس أي طلاب؟ - تاريخ

كان أرخميدس من سيراكيوز أحد أعظم علماء الرياضيات في التاريخ. كان أيضًا مخترعًا وعالمًا عظيمًا. يأتي معظم ما نعرفه عن أرخميدس اليوم من كتاباته وكتابات معاصريه.

ولد أرخميدس في سيراكيوز ، صقلية (ثم جزء من اليونان) ، حوالي 287 قبل الميلاد ، وسافر إلى مصر في سن 18 للدراسة في مكتبة الإسكندرية الكبرى. عند الانتهاء من دراسته ، عاد إلى سيراكيوز ، حيث أمضى بقية حياته.

كان أرخميدس مهووسًا بالرياضيات. سوف ينخرط في عمله لدرجة أنه سينسى تناول الطعام. قام بكتابة ملاحظات وأرقام على أي سطح متاح. عندما كان بالخارج ، استخدم عصا للرسم على الأرض عندما كان في الداخل ، استخدم إصبعه لتتبع الأشكال في زيت الزيتون على جلده.

من هذا الهوس جاء العديد من أعظم نظرياته وبراهينه ، مثل وسائل تقريب الجذور التربيعية ، وقيمة pi (نسبة محيط الدائرة إلى قطرها) ، وإنشاء طريقة لوصف الأعداد الكبيرة جدًا. كما ابتكر طرقًا لحساب المساحات والأحجام قبل 2000 عام من اختراع حساب التفاضل والتكامل. بالإضافة إلى ذلك ، أثبت أرخميدس أن حجم الكرة هو ثلثي حجم الأسطوانة المقيدة. لقد اعتبر هذا الدليل أعظم إنجازاته ، بل إنه طلب أن يتم نقش تمثيل للكرة داخل أسطوانة على قبره.

اشتهر أرخميدس باختراعاته واكتشافاته العلمية. أشهرها برغي أرخميدس (جهاز لرفع المياه لا يزال يستخدم في ري المحاصيل ومحطات معالجة مياه الصرف الصحي اليوم) ومبدأ أرخميدس للطفو. تقول الأسطورة أنه اكتشف هذا المبدأ أثناء وجوده في الحمام ، حيث لاحظ أنه كلما زاد غمر جسده في الماء ، زادت كمية الماء التي تفيض في الحمام. عند إجراء هذا الاكتشاف ، قيل إنه ركض عارياً في شوارع سيراكيوز ، وهو يصيح "يوريكا!" (كلمة يونانية تعني "لقد وجدتها!").

عندما غزا الرومان سيراكيوز في عام 214 قبل الميلاد ، اخترع أرخميدس "محركات الحرب" للدفاع عن المدينة ، بما في ذلك الرافعات لإسقاط الصخور ، ومخالب لرفع السفن من الماء ، وآلات لإطلاق الصواريخ الخشبية. كما ابتكر نظامًا من المرايا التي تركز ضوء الشمس على سفن العدو ، مما يؤدي إلى اشتعال النيران في السفن.

بعد أن نجح الرومان في الاستيلاء على المدينة في 212 قبل الميلاد ، قُتل أرخميدس على يد جندي روماني بعد أن قال للجندي ، "لا تزعج دوائري" & # 8212a إشارة إلى سلسلة من الشخصيات التي رسمها أرخميدس في الرمال. كما رغب ، تم تمييز شاهد قبر أرخميدس بشكل كرة محاطة بأسطوانة ونسبة 2: 3 من أحجامها.

ج. 287 قبل الميلاد
ولد في سيراكيوز ، صقلية.

ج. 269 ​​قبل الميلاد
يسافر إلى مصر للدراسة في الإسكندرية. يخترع برغي أرخميدس ، وهو جهاز يستخدم لضخ المياه من السفن.

ج. 263 قبل الميلاد
يعود إلى سيراكيوز.

263-216 قبل الميلاد
يطور معظم نظرياته الرئيسية ، بما في ذلك المبادئ الأساسية للميكانيكا وطرق إيجاد مركز الثقل ومساحة السطح وحجم الأشكال الهندسية. يشتق أيضًا تقدير قيمة pi ويكتشف مبدأ الطفو ويخلق نظامًا قادرًا على التعبير عن أعداد كبيرة.

216 قبل الميلاد
توفي ملك سيراكيوز ، الملك هييرو ، وخلفه ابنه هيرونيموس.

215 قبل الميلاد
اغتيل هيرونيموس. اندلعت الحرب الأهلية في سيراكيوز.

214-212 قبل الميلاد
يحاول الرومان غزو سيراكيوز لكن آلات أرخميدس الحربية تصطدم بهم ، مثل مخلب أرخميدس والمنجنيق.

212 قبل الميلاد
يغزو الرومان سيراكيوز. خلال الغزو ، قتل جندي روماني أرخميدس.

300 م
يقوم الكتبة بنسخ كتابات أرخميدس على المخطوطات.

ج. 1000 م
نُسِخت مخطوطة أرخميدس التي تحتوي على طريقة النظريات الميكانيكية على صفائح من الورق وربطت بين ألواح خشبية. يروي هذا النص كيف طور أرخميدس نظرياته الرياضية.

ج. 1200 م
راهب يعيد استخدام مخطوطة أرخميدس في كتاب صلاة ، ليخلق Palimpsest. تصبح هذه النسخة الوحيدة من مخطوطة أرخميدس التي بقيت حتى يومنا هذا.

ج. 1400-1800
طينة أرخميدس مخزنة في دير في صحراء يهودا.

أواخر القرن السابع عشر
اخترع التفاضل والتكامل.

أوائل القرن التاسع عشر
تم نقل Palimpsest من الدير إلى مكتبة في القدس القديمة.

1846
اكتشف عالم ألماني قسطنطين تيشندورف طينة أرخميدس في القسطنطينية.

1906
يسمع العالم الدنماركي ، يوهان لودفيغ هيبرغ ، عن Palimpsest ، ويسافر إلى القسطنطينية ، ويحاول نسخ الكتاب باستخدام عدسة مكبرة.

1908-1998
الطرس يختفي.

1998
يعود أرخميدس بالمبسيست إلى السطح في باريس ويبيع بمبلغ مليوني دولار في مزاد كريستيز في نيويورك.

1999 حتى الآن
تم إقراض Palimpsest إلى معرض Walters للفنون في بالتيمور ، ماريلاند. بدء ترميم المخطوطة وترجمتها.

أسرار لانهائية.
فيديو WGBH بوسطن ، 2004.
اكتشف المزيد عن حياة أرخميدس وعمله و Palimpsest في برنامج NOVA الذي يبث في 30 سبتمبر 2003.
اتصل بالرقم (800) 949-8670 أو اطلب من خلال موقع ويب WGBH Shop على:
shop.wgbh.org

قم بزيارة موقع الويب المصاحب لـ NOVA لمعرفة المزيد عن أرخميدس على:
www.pbs.org/nova/archimedes/

التفكير في اللانهاية
من الناحية الفلسفية ، يظل المفهوم مثيراً للعقل.

العمل مع إنفينيتي
أصبح علماء الرياضيات مرتاحين بشكل متزايد لهذا المفهوم.

المخطوطات العظيمة الباقية
تقدم الوثائق القديمة لمحة محيرة عن الثقافات المفقودة.

طرس أرخميدس
تابع رحلة مخطوطة أرخميدس التي استمرت 1000 عام.

التقريب بي
انظر نهج أرخميدس الهندسي لتقدير باي.


آلات الحرب وأشعة الحرارة

صمم أرخميدس أيضًا العديد من آلات الحرب ذات المخالب والمنجنيق والمنجنيق لاستخدامها ضد الجيوش التي تحاصر سرقوسة. كتب المؤلف لوسيان في القرن الثاني بعد الميلاد أن أرخميدس استخدم جهازًا للتركيز الحراري يتضمن مرايا تعمل كعاكس مكافئ كوسيلة لإشعال النار في السفن الغازية. حاول العديد من المجربين المعاصرين إظهار أن هذا ممكن ، لكن كانت لديهم نتائج مختلطة. للأسف ، قُتل أرخميدس أثناء حصار سرقوسة.


زمن الحرب والاختراعات الأخرى

وفقًا لكاتب السيرة الذاتية اليوناني بلوتارخ (ج. م. 46 & # x2013c. م. 120) ، ساعدت الاختراعات العسكرية لأرخميدس & # x0027s في الدفاع عن مدينته عندما تعرضت لهجوم من قبل القوات الرومانية. كتب بلوتارخ أنه بعد وفاة هيرون ، الجنرال الروماني ماركوس كلوديوس مارسيليوس (سي 268 قبل الميلاد & # x2013208 قبل الميلاد ) هاجمت سيراكيوز برا وبحرا. وفقا لبلوتارخ أرخميدس & # x0027s المقاليع (الآلات التي يمكن أن تقذف أشياء مثل الحجارة الثقيلة) أجبرت القوات الرومانية على العودة إلى الأرض. ادعى الكتاب اللاحقون أن أرخميدس أيضًا أشعل النار في السفن الرومانية من خلال تركيز ترتيب المرايا عليها. ومع ذلك ، على الرغم من جهود أرخميدس & # x0027s ، استسلمت سيراكيوز في النهاية للرومان. قُتل أرخميدس بعد الاستيلاء على المدينة ، رغم أنه من غير المعروف بالضبط كيف حدث ذلك.

ربما أثناء وجوده في مصر ، اخترع أرخميدس اللولب المائي ، وهو آلة لرفع المياه لإحضارها إلى الحقول. كان هناك اختراع آخر هو القبة السماوية المصغرة ، وهي كرة تحاكي حركتها الأرض والشمس والقمر والكواكب الخمسة التي كان معروفًا وجودها في ذلك الوقت.


ما هو الغموض في تقريب أرخميدس & # 39 من $ sqrt 3 $؟

في تقديره الشهير لـ $ pi $ بواسطة المضلعات المحفورة والمحدودة ، يستخدم أرخميدس العديد من التقديرات المنطقية للقيم غير المنطقية ، والمثال النموذجي هو أنه يذكر ، دون تفسير ، $ sqrt 3 & gt frac <265> <153>.

أدى الظهور المفاجئ لـ $ frac <265> <153> $ إلى حيرة الكثير من الناس عبر العصور. تسرد صفحة أرخميدس والجذر التربيعي للعدد 3 العديد من هذه الصفحات. هذا المثال المنسوب إلى دبليو دبليو. روس بول نموذجية:

يبدو. أن [أرخميدس] كان لديه طريقة (غير معروفة حاليًا) لاستخراج الجذر التربيعي للأرقام تقريبًا.

في رأيي ، هناك إجابة سهلة للغاية لهذا اللغز الظاهري. إذا كنت تريد تقديرات تقريبية منطقية إلى $ sqrt 3 $ ، فإن أبسط جدا الشيء الذي يمكنك القيام به هو كالتالي: تريد العثور على الأعداد الصحيحة $ a $ و $ b $ التي تكون نسبتها قريبة من $ sqrt 3 $ ، أو بالمقابل تريد العثور على $ a ^ 2 $ و $ b ^ 2 $ الذي النسبة قريبة من 3 دولارات. لذلك يجب جدولة $ n ^ 2 $ و $ 3n ^ 2 $ والبحث عن الأعداد الصحيحة في العمود الأيسر والتي تساوي تقريبًا الأعداد الصحيحة في العمود الأيمن:

تعطي أزواج الإدخالات الملونة التقديرات التقريبية $ color< frac21>، color< frac53>، color< frac74> و $ و $ color< frac <19> <11>> $ على التوالي. إذا حملت الجدول إلى 265 إدخالًا ، فستجد أن $ 265 ^ 2 = 70225 $ و $ 3 cdot 153 ^ 2 = 70227 $ وهناك $ sqrt 3 almost frac <265> <153> $. ليس عليك أن تكون ذكيًا مثل أرخميدس حتى تفكر في هذا. لم تكن هناك حاجة إلى تقنية سحرية ، ولم تكن هناك حاجة إلى نظرية معقدة. الحساب ممل ولكنه مباشر وأرى أنه كان من الممكن نقله إلى 265 إدخالًا في غضون ساعات قليلة على الأكثر ، حتى باستخدام أي تقنية مروعة كانت متاحة في ذلك الوقت.

ربما كان أرخميدس ، بالطبع ، قد استخدم طريقة أفضل. (كما أنه ينتج القيمة التقريبية $ frac <1351> <780> $ ، والتي لا يكون ما سبق ذكره عمليًا بشكل واضح. ربما استخدم ما يسمى بـ "الطريقة البابلية". أو بعد أن قام بجدولة التقديرات القليلة الأولى من الجدول أعلاه ، ربما لاحظ التكرار البسيط الذي يحكمهم ، فلن يكون هذا صعبًا على طالب المدرسة الثانوية اللامع. أو ربما كان لديه طريقة أخرى.) ولكن يبدو لي أنه نظرًا لوجود طريقة مباشرة وبسيطة الطريقة التي كان من الممكن أن ينتج بها أرخميدس التقديرات المطلوبة ، فلا يوجد لغز لحلها.

ومع ذلك ، يختلف روس بول وعدد من المؤلفين البارزين الآخرين معي ، ويعتبرون حساب أرخميدس لـ $ sqrt 3 almost frac <265> <153> $ غامضًا. (تستشهد الصفحة التي ربطتها سابقًا: T. Heath و ET Bell و C.B Boyer و M. Kline و P. Beckmann و Sondheimer و Rogerson ، وتواصل وصف طريقة معقدة ومتقنة كان من الممكن أن يستخدمها أرخميدس.)

إذا كان مؤلفو الرياضيات المشهورون هم فقط من اعتقدوا أن هذا الحساب يتطلب قوى غامضة من جانب أرخميدس ، فسأقوم بشطبها لأن المؤلفين يتجاهلون ما هو واضح ، لأن مؤلفي الكتب الشعبية في الرياضيات يمكن أن يكونوا بعيدين تمامًا. لكن روس بول وموريس كلاين ليسا دمى ولا أعتقد أنه كان بإمكانهما التغاضي عن الطريقة التي وصفتها أعلاه ، والتي لا تبدو واضحة فحسب ، بل هي أول شيء يحاول أي شخص تجربته.

هل هناك سبب ما يجعلني لا أقدر أن أرخميدس لم يستطع أو بالتأكيد لم يستخدم الطريقة التي وصفتها؟ أم أن كل هؤلاء الرجال الآخرين أغفلوا ما هو واضح؟


محتويات

المضخة اللولبية هي أقدم مضخة إزاحة موجبة. [1] تعود السجلات الأولى لمضخة لولبية أو مضخة لولبية إلى مصر الهلنستية قبل القرن الثالث قبل الميلاد. [1] [4] كان البرغي المصري ، المستخدم في رفع المياه من النيل ، مكونًا من أنابيب ملفوفة حول أسطوانة بينما تدور الوحدة بأكملها ، ويتم رفع الماء داخل الأنبوب اللولبي إلى الارتفاع الأعلى. كان تصميم المضخة اللولبية اللاحقة من مصر يحتوي على أخدود حلزوني مقطوع على السطح الخارجي لأسطوانة خشبية صلبة ثم تمت تغطية الأسطوانة بألواح أو صفائح معدنية تغطي عن كثب الأسطح بين الأخاديد. [1]

افترض بعض الباحثين أن هذا هو الجهاز المستخدم لري حدائق بابل المعلقة ، إحدى عجائب الدنيا السبع في العالم القديم. فسرت ستيفاني دالي نقشًا مسماريًا للملك الآشوري سنحاريب (704-681 قبل الميلاد) لوصف صب براغي مائية من البرونز قبل حوالي 350 عامًا. يتفق هذا مع المؤلف الكلاسيكي سترابو ، الذي يصف الحدائق المعلقة بأنها مروية بالمسامير. [6]

تم إدخال المضخة اللولبية لاحقًا من مصر إلى اليونان. [1] وصفها أرخميدس [7] بمناسبة زيارته لمصر ، حوالي 234 قبل الميلاد. [8] قد يعكس هذا التقليد فقط أن الجهاز لم يكن معروفًا لليونانيين قبل العصور الهلنستية. [7] لم يدع أرخميدس أبدًا الفضل في اختراعه ، لكن ديودوروس نسبه إليه بعد 200 عام ، الذي اعتقد أن أرخميدس اخترع المضخة اللولبية في مصر. [1] تُظهِر صور براغي المياه اليونانية والرومانية أنها تعمل بالطاقة بواسطة داس بشري على الغلاف الخارجي لتحويل الجهاز بأكمله كقطعة واحدة ، الأمر الذي يتطلب ربط الغلاف بإحكام بالمسمار.

قام المهندس الألماني كونراد كيسير بتجهيز برغي أرخميدس بآلية كرنك بلفورتيس (1405). استبدلت هذه الآلية بسرعة الممارسة القديمة المتمثلة في تشغيل الأنبوب عن طريق الدوس. [9]

يتكون برغي أرخميدس من برغي (سطح حلزوني يحيط بعمود أسطواني مركزي) داخل أنبوب مجوف. يتم تشغيل المسمار عادةً بواسطة طاحونة هوائية أو عمل يدوي أو ماشية أو بالوسائل الحديثة ، مثل المحرك. عندما يدور العمود ، يقوم الطرف السفلي بامتصاص كمية من الماء. يتم بعد ذلك دفع هذا الماء لأعلى عبر الأنبوب الحلزوني الدوار حتى يصب من أعلى الأنبوب.

لا يحتاج سطح التلامس بين البرغي والأنبوب إلى أن يكون مانعًا للماء تمامًا ، طالما أن كمية الماء التي يتم تجريفها مع كل منعطف كبيرة مقارنة بكمية المياه المتسربة من كل جزء من المسمار في كل منعطف. إذا تسرب الماء من أحد الأقسام إلى الجزء السفلي التالي ، فسيتم نقله لأعلى بواسطة الجزء التالي من البرغي.

في بعض التصميمات ، يتم دمج المسمار في الغلاف ويدور كلاهما معًا ، بدلاً من تدوير المسمار داخل غلاف ثابت. يمكن إغلاق البرغي على الغلاف براتنج راتينج أو مادة لاصقة أخرى ، أو يمكن صب البرغي والغلاف معًا كقطعة واحدة من البرونز.

يتميز تصميم برغي الماء اليوناني والروماني اليومي ، على عكس الجهاز البرونزي الثقيل لسنحاريب ، بسلاسل محركه الإشكالية ، ببساطته القوية. تم بناء اللولب المزدوج أو الثلاثي من شرائح خشبية (أو أحيانًا صفائح برونزية) حول عمود خشبي ثقيل. تم بناء أسطوانة حول الحلزونات باستخدام ألواح طويلة وضيقة مثبتة على أطرافها ومقاومة للماء بملغمة. [6]

تم استخدام المسمار في الغالب لنقل المياه إلى أنظمة الري وفي مناجم نزح المياه أو المناطق المنخفضة الأخرى. تم استخدامه لتصريف الأراضي التي كانت تحت البحر في هولندا وأماكن أخرى في إنشاء الأراضي المستصلحة.

تستخدم براغي أرخميدس في محطات معالجة مياه الصرف الصحي لأنها تتكيف بشكل جيد مع معدلات التدفق المتفاوتة والمواد الصلبة العالقة. المثقاب في منفاخ الثلج أو مصعد الحبوب هو في الأساس لولب أرخميدس. تحتوي العديد من أشكال مضخة التدفق المحوري بشكل أساسي على برغي أرخميدس.

يوجد هذا المبدأ أيضًا في أجهزة pescalators ، وهي عبارة عن براغي أرخميدس مصممة لرفع الأسماك بأمان من البرك ونقلها إلى مكان آخر. تستخدم هذه التقنية بشكل أساسي في مفرخات الأسماك ، حيث يكون من المرغوب فيه تقليل المناولة المادية للأسماك.

تم استخدام برغي أرخميدس في التثبيت الناجح لعام 2001 لبرج بيزا المائل. تمت إزالة كميات صغيرة من التربة الجوفية المشبعة بالمياه الجوفية من أسفل الجانب الشمالي من البرج ، وصحح وزن البرج نفسه الميل. تستخدم براغي أرخميدس أيضًا في نوافير الشوكولاتة.

توربينات أرخميدس اللولبية (ASTs) هي شكل جديد من المولدات لمحطات الطاقة الكهرومائية الصغيرة التي يمكن تطبيقها حتى في المواقع منخفضة الرأس. [2] تقلل سرعة الدوران المنخفضة للـ ASTs من التأثيرات السلبية على الحياة المائية والأسماك. [2]

أ المسمار الناقل عبارة عن برغي أرخميدس موجود داخل أنبوب ويتم تدويره بواسطة محرك لتوصيل المواد من أحد طرفي الناقل إلى الطرف الآخر. إنها مناسبة بشكل خاص لنقل المواد الحبيبية مثل الحبيبات البلاستيكية المستخدمة في القولبة بالحقن وحبوب الحبوب. يمكن استخدامه أيضًا لنقل السوائل. في تطبيقات التحكم الصناعي ، يمكن استخدام الناقل كمغذي دوار أو مغذي معدل متغير لتقديم معدل أو كمية مقاسة من المواد في العملية.

يمكن أيضًا العثور على نوع مختلف من لولب أرخميدس في بعض ماكينات القولبة بالحقن ، وآلات صب القوالب وبثق البلاستيك ، والتي تستخدم لولبًا من الميل المتناقص لضغط وصهر المواد. يتم استخدامه أيضًا في ضاغط الهواء اللولبي الدوار. على نطاق أكبر بكثير ، يتم استخدام براغي أرخميدس ذات النغمة المتناقصة لضغط مواد النفايات.

تحرير العمل العكسي

إذا تم إدخال الماء في الجزء العلوي من برغي أرخميدس ، فسوف يجبر المسمار على الدوران. يمكن بعد ذلك استخدام العمود الدوار لتشغيل مولد كهربائي. مثل هذا التثبيت له نفس الفوائد مثل استخدام المسمار في الضخ: القدرة على التعامل مع المياه المتسخة للغاية ومعدلات تدفق متفاوتة على نطاق واسع بكفاءة عالية. Settle Hydro و Torrs Hydro هما مشروعان مائيان صغيران لولب عكسي يعملان في إنجلترا. يعمل اللولب بشكل جيد كمولد عند الرؤوس المنخفضة ، وهو موجود بشكل شائع في الأنهار الإنجليزية ، بما في ذلك نهر التايمز ، الذي يعمل على تشغيل قلعة وندسور. [10]

في عام 2017 ، تم افتتاح أول طاقة كهرومائية لولبية عكسية في الولايات المتحدة في ميريدين ، كونيتيكت. [11] [12] تم بناء مشروع Meriden وتشغيله بواسطة شركة New England Hydropower بسعة اسمية تبلغ 193 كيلو وات وعامل قدرة يبلغ حوالي 55٪ على مدار فترة تشغيل مدتها 5 سنوات.


هل كان لدى أرخميدس أي طلاب؟ - تاريخ



إكليل ذهبي من
أمفيبوليس ، اليونان
القرن الرابع قبل الميلاد



إكليل البلوط الذهبي
من الدردنيل
القرن الرابع قبل الميلاد

الاكليل والذهب
كتلة صلبة لها وزن متساو

النقطة الثالثة تحتاج إلى بعض التضخيم. أكبر إكليل ذهبي معروف من أرخميدس وزمن # 8217 هو الذي تم تصويره من فيرجينا. يبلغ أقصى قطر شفة لها 18.5 سم وكتلة 714 جرامًا ، على الرغم من فقدان بعض أوراقها. لأغراض التوضيح ، لنفترض أن إكليل Hiero & # 8217s كان يزن 1000 جرام وأنه تم استخدام وعاء بفتحة دائرية بقطر 20 سم. سيكون للفتحة مساحة مقطع عرضي تبلغ 314 سنتيمترًا مربعًا. (يتم إجراء جميع الحسابات على ثلاثة أرقام معنوية.)

ب- لأن كثافة الذهب تبلغ 19.3 جرامًا / سنتيمتر مكعب ، فإن 1000 جرام من الذهب سيكون حجمها 1000 / 19.3 = 51.8 سنتيمترًا مكعبًا (حوالي حجم بطارية D). مثل هذه الكمية من الذهب سترفع مستوى الماء عند فتح الحاوية بمقدار 51.8 / 314 = 0.165 سم.

N ext ، لنفترض أن الصائغ غير الأمين استبدل 30٪ (300 جرام) من الذهب في إكليل الزهور بالفضة. تبلغ كثافة الفضة 10.5 جرام / سم مكعب ، وبالتالي فإن حجم التاج الذهبي والفضي 700 / 19.3 + 300 / 10.5 = 64.8 سم مكعب. مثل هذا التاج سيرفع مستوى الماء عند الفتح بمقدار 64.8 / 314 = 0.206 سم.

وبالتالي ، فإن الاختلاف في مستوى الماء المزاح بواسطة إكليل الزهور والذهب هو 0.206 ناقص 0.165 سم ، أو 0.41 ملم. هذا فرق صغير جدًا بحيث لا يمكن مراقبته بدقة أو قياس الفائض من النظر في المصادر المحتملة للخطأ بسبب التوتر السطحي ، والماء المتشبث بالذهب عند إزالته ، وفقاعات الهواء محاصرة في إكليل الزهور ، وما إلى ذلك. بالإضافة إلى ذلك ، سيكون التغيير في مستوى الماء أقل من 0.41 ملم إذا كانت كتلة إكليل الزهور أقل من 1000 جرام ، أو إذا كان قطر فتحة الحاوية أكبر من 20 سم ، أو إذا كان أقل من 30٪ من الذهب استبدال الفضة.

فيما يلي تقنية أكثر إبداعًا وعملية للكشف عن الاحتيال ، والتي تستخدم كلاً من قانون أرخميدس & # 8217 للطفو وقانون الرافعة الخاص به. قم بتعليق إكليل الزهور من أحد طرفي الميزان وقم بتوازنه مع كتلة متساوية من الذهب معلقة من الطرف الآخر. ثم اغمر إكليل الزهور المعلق والذهب في وعاء من الماء. إذا ظل المقياس في حالة توازن ، فإن إكليل الزهور والذهب لهما نفس الحجم ، وبالتالي فإن إكليل الزهور له نفس كثافة الذهب الخالص. ولكن إذا كان الميزان يميل في اتجاه الذهب ، فإن حجم إكليل الزهور أكبر من الذهب ، وبالتالي تكون كثافته أقل من كثافة الذهب. يجب أن تكون بعد ذلك سبيكة من الذهب وبعض المواد الأخف.

للتحقق من التطبيق العملي لهذه التقنية ، دعنا نفترض مرة أخرى إكليلًا من 1000 جرام وهو عبارة عن سبيكة من الذهب بنسبة 70٪ و 30٪ من الفضة. لأن حجمه 64.8 سم مكعب ، فإنه يزيح 64.8 جرام من الماء. (كثافة الماء 1.00 جرام / سم مكعب.) وبالتالي فإن كتلته الظاهرة في الماء هي 1000 ناقص 64.8 جرامًا ، أو 935.2 جرامًا. بعد ذلك ، يبلغ حجم 1000 جرام من الذهب الخالص 51.8 سنتيمترًا مكعبًا ، وبالتالي فإن كتلته الظاهرة في الماء هي 1000 ناقص 51.8 جرامًا ، أو 948.2 جرامًا. وهكذا ، عندما يتم غمر طرفي الميزان في الماء ، تظهر كتلة 935.2 جرامًا في أحد طرفيها ، وكتلة واضحة 948.2 جرامًا في الطرف الآخر ، أي خلل قدره 13.0 جرامًا. يمكن للمقاييس من أرخميدس & # 8217 أن تكتشف بسهولة مثل هذا الخلل في الكتلة. بالإضافة إلى ذلك ، فإن مصادر الخطأ التي تنشأ باستخدام طريقة Vitruvius & # 8217s (التوتر السطحي والماء المتشبث) لن تنشأ مع طريقة المقياس هذه.

يجب ملاحظة أن طريقة القياس لا تزال تعمل إذا كانت كتل إكليل الزهور والذهب غير متساوية. يقوم المرء ببساطة بتعديل مسافاته من نقطة ارتكاز المقياس حتى يتوازن الميزان قبل غمسه في الماء.


حصار سيراكيوز

في عام 215 قبل الميلاد ، هاجم الجيش والبحرية الرومانية مدينة سيراكيوز ، ولمساعدة سكان المدينة الذين يعانون من ضغوط شديدة ، صمم أرخميدس عددًا من آلات الحرب للرد. يبدو أن بعض هذه الآلات العملاقة كانت من رماة الحجارة أو الأقواس الكبيرة ، لكن المؤرخين القدماء يخبرون عن اختراعات أخرى. ومن بين هؤلاء أرخميدس المخلب سيئ السمعة ، والذي استخدم رافعة وخطافًا للوصول إلى القوادس الرومانية والاستيلاء عليها ، وفي النهاية انقلبت.

كانت فكرته المزعومة الأخرى هي استخدام المرايا أو الدروع المصقولة لتركيز ضوء الشمس في نقطة ما وإشعال النار في السفن الخشبية ، وهو اختراع يشار إليه عادة باسم أرخميدس Death Ray. باسم من هذا القبيل ، فإنه يطلب أن يتم بناؤه واختباره ، وهو شيء لم يستطع Mythbusters مقاومته!


المقاطع المخروطية في اليونان القديمة

يمكن إرجاع معرفة المقاطع المخروطية إلى اليونان القديمة. يعود الفضل إلى Menaechmus في اكتشاف المقاطع المخروطية حول السنوات 360-350 قبل الميلاد. يذكر أنه استخدمها في حلينه لمشكلة "مضاعفة المكعب". بعد عمل Menaechmus ، تم فحص هذه المنحنيات بواسطة Aristaeus و Euclid. المساهمة الرئيسية التالية في نمو نظرية المقطع المخروطي كانت من قبل أرخميدس العظيم. على الرغم من أنه حصل على العديد من النظريات المتعلقة بالمخروطيات ، إلا أنه لا يبدو أنه نشر أي عمل مخصص لها فقط. من ناحية أخرى ، يُعرف Apollonius باسم "Great Geometer" على أساس نصه Conic Sections ، وهو عبارة عن ثمانية "كتاب" (أو في المصطلحات الحديثة ، "فصل") سلسلة حول هذا الموضوع. لقد نزلت الكتب الأربعة الأولى إلينا باللغة اليونانية القديمة الأصلية ، لكن الكتب V-VII معروفة فقط من خلال الترجمة العربية ، بينما فقد الكتاب الثامن تمامًا.

في السنوات التي أعقبت أبولونيوس ، بدأ التقليد الهندسي اليوناني في التدهور ، على الرغم من وجود تطورات في علم الفلك وعلم المثلثات والجبر (Eves ، 1990 ، ص .182). عزز بابوس ، الذي عاش حوالي 300 م ، دراسة المقاطع المخروطية إلى حد ما بطرق ثانوية. بعد بابوس ، تم تقريبًا نسيان المقاطع المخروطية لمدة 12 قرنًا. لم يكن حتى القرن السادس عشر ، جزئياً كنتيجة لاختراع الطباعة والنشر الناتج لعمل أبولونيوس ، حدث أي تقدم كبير في نظرية أو تطبيقات المقاطع المخروطية ولكن عندما حدث ذلك ، في عمل كبلر ، كان ذلك جزءًا من أحد التطورات الرئيسية في تاريخ العلوم.

ستبحث هذه الورقة في تاريخ المقاطع المخروطية في اليونان القديمة. سوف ندرس عمل علماء الرياضيات المذكورين أعلاه ذات الصلة بالأقسام المخروطية ، مع إيلاء اهتمام خاص لنص أبولونيوس حول الأقسام المخروطية.

بابوس وبروكلوس

قد يبدو من الغريب أن نبدأ بهذه الأرقام المتأخرة ، لكن أهمية Pappus و Proclus يجب أن يتم تحديدها مبكرًا. بينما كان بابوس الإسكندري عالِمًا مختصًا بالرياضيات والجغرافيا ، فإننا مهتمون هنا بعمله كمعلق رياضي ومؤرخ للرياضيات. مقيمًا بشكل أساسي في الإسكندرية ، بعد حوالي 500 عام من ظهور أمثال إقليدس وأرخميدس وأبولونيوس على المشهد الفكري ، كتب بابوس العديد من التعليقات على أعمال العديد من علماء الرياضيات العظماء في الماضي (أي من ماضيه!). كانت إحدى أهم مساهماته هي مجموعته الرياضية ، وهي سلسلة من ثمانية كتب تضمنت التعليقات والملاحظات التاريخية ، بالإضافة إلى العديد من المقترحات الأصلية وملحقات الأعمال الموجودة. في الكتاب السابع ، يناقش اثني عشر أطروحة من الماضي والتي تضمنت أقسام أبولونيوس المخروطية ، و Loci سطح إقليدس ، و Aristaeus 'Solid Loci Loci (Eves، 1990، p.183-4). يعطينا بابوس نظرة ثاقبة على حياة وأعمال المقاييس اليونانية. كان لديه إمكانية الوصول إلى الأعمال التي فقدت الآن ، بالإضافة إلى كونه عالم رياضيات ماهرًا في حد ذاته ، فهو يوفر رابطًا قيمًا للهندسة اليونانية القديمة.

كان بروكلس ، الذي عاش في القرن الخامس الميلادي ، مؤرخًا رياضيًا بارزًا أيضًا. مثل بابوس ، كان لديه إمكانية الوصول إلى الوثائق الأصلية لرياضيات العصور الكلاسيكية والهيلينستية التي لم تعد متوفرة. ملخصه الأوديماني هو مصدر لا يقدر بثمن للمعلومات حول العمل الرياضي اليوناني المبكر حتى إقليدس (Eves، 1990، pp. 74-75). سيتم استدعاء سلطته في هذه الورقة ، لا سيما عند فحص تأثير أريستوس وإقليدس.

ميناشموس

وفقًا للتقاليد ، نشأت فكرة المقاطع المخروطية من استكشاف مشكلة "مضاعفة المكعب". تم تقديم هذه المشكلة والقصة المصاحبة لها في رسالة من إراتوستينس القيرواني إلى الملك بطليموس يورجتس ، والتي نزلت إلينا كما نقلها يوتوسيوس في تعليقه على كتاب أرخميدس على الكرة والأسطوانة ، والذي يظهر في هيث. أخبر إراتوستينس الملك أن الملك الأسطوري مينوس كان يرغب في بناء قبر لجلوكوس وشعر أن أبعاده الحالية - مائة قدم على كل جانب - غير كافية.

    خطتك صغيرة جدًا لتقييد قبر ملكي. فليكن ضعف شكله العادل. لا تفشل ، ولكن تسرع في مضاعفة كل جانب.

من الواضح أن مضاعفة كل جانب ستزيد الحجم بمقدار ثمانية أضعاف ، وليس بالعامل المرغوب فيه وهو اثنين. Mathematicians worked diligently on this problem, but were having tremendous difficulty in solving it. A breakthrough of a kind occurred when Hippocrates of Chios reduced the problem to the equivalent problem of "two mean proportionals", though this formulation turned out to be no easier to handle than the previous one (Heath, 1961, p. xviii). Eratosthenes continued by mentioning the Delians, who had an interest in exactly the same problem of "doubling a cube". When they called upon geometers at Plato's Academy in Athens for a solution, two geometers found answers to the equivalent mean proportions problem. Archytas of Tarentum used "half- cylinders", and Eudoxus used "curved lines". These solutions, however, only gave demonstrations of the existence of the desired number as a geometrical quantity, but they could not actually construct the mean proportion mechanically, so they did not reach the point of practical application until Menaechmus, who he achieved it with considerable difficulty (Heath, 1961, pp. xvii-xviii).

The mention above of Hippocrates' mean proportions is of interest. What this means is that, given two lengths a and b, we find x and y such that a:x::x:y and x:y::y::b, or in modern notation a/x=x/y=y/b if we denote this ratio by r, then r^3 = (a/x)(x/y)(y/b)=a/b, and as Hippocrates noted, that if the segment a is twice as long as the segment b, then the doubling of the cube would be solved using the length r. Needless to say, he did not have an algebraic notation able to support the argument in the form we have given it, and had to argue directly.

Menaechmus was a pupil of Eudoxus, a contemporary of Plato (Heath, 1921, p. 251). Much of what we know about Menaechmus's work comes to us from the commentaries of Eutocius, a Greek scholar who discussed the works of many mathematicians of his and earlier times, including Menaechmus, Archimedes, and Apollonius. In his solutions, Menaechmus essentially finds the intersection of (ii) and (iii) (see Solution 1, below), and then, alternatively, the intersection of (i) and (ii) (see Solution 2, below). Menaechmus's proof deals with the general case of the mean proportions. Once we have this, we can take the special case a=2b to double the cube. Before giving these two solutions, it should be noted that Menaechmus did not use the terms "parabola" and "hyperbola" - these terms are due to Apollonius. Instead, he called a parabola a "section of a right-angled cone", and a hyperbola a "section of an obtuse-angled cone" (Heath, 1921, p. 111).

    Solution 1:
  • Let AO, AB be two given straight lines such that AO > AB and let them form a right angle at O.
  • Suppose the problem solved and let the two mean proportionals be OM measured along BO produced and ON measured along AO produced. (Heath, 1921, p. 253).
  • Complete the rectangle OMPN.
  • Because AO : OM = OM : ON = ON : OB, we have by cross multiplication the following relations:
  • (1) OB.OM = ON² = PM² [the "." refers to multiplication], such that P lies on a parabola which has O for its vertex, OM for its axis, and OB for its latus rectum.
  • (2) AO.OB = OM.ON = PN.PM, such that P lies on a hyperbola with O as its center, and OM and ON as its asymptotes.
  • To find the point P, we must construct the parabola in (1) and the hyperbola in (2), and once we do so, the intersection of the two solves the problem, for AO : PN = PN : PM = PM : OB.
    Solution 2:
  • Suppose AO and AB are given and the problem to be solved as in the first two steps to Solution 1.
  • Again, we have AO : OM = OM : ON = ON : OB, giving us
  • (1) as in solution 1, the relation OB.OM = ON² = PM ², such that P lies on a parabola which has O for its vertex, OM for its axis, and OB for its latus rectum.
  • (2) the relation AO.ON = OM² = PN², such that P lies on a parabola which has O for its vertex, ON for its axis, and OA for its latus rectum.
  • To find the point P, we must construct the two parabolas described in (1) and in (2). The intersection gives us the point P such that AO PN = PN : PM = PM : OB

While it is apparent that Menaechmus utilized what later became known as conic sections, did he really have a construction involving a cone in mind when he solved the problem of doubling the cube? Heath argues that he did, for the following reason. In the same letter from Eratosthenes to Ptolemy mentioned above, Eratosthenes stated, in connection with a discussion of his own solution to the problem, that there is no need to resort to "cutting the cone in the triads of Menaechmus" (Heath, 1961, xviii). In addition to this quotation appearing in Eutocius' commentary on Archimedes, Proclus confirms that conics were discovered by Menaechemus (Heath, 1961, xix) .

Now that we have seen how Menaechmus first applied the conic sections, one might wonder, "How did he think of obtaining these curves from a cone?". Though there is virtually no information on this question itself, intuition tells us that the keen observational skills of Greek mathematicians would be attracted to such shapes. It is likely that the first conic section noticed in nature would have been an ellipse. If one cuts a cylinder at an angle other than a right angle to its axis, the result is an ellipse. In fact, Euclid notes in his Phaenomena that a cone or cylinder cut by a plane not parallel to the base results in a section of an acute-angled cone which is "similar to a [shield]" (Heath, 1921, 125). A natural extension of this phenomena would by the cutting of a cone in a similar fashion. Then perhaps they moved the cutting plane so that it does not cut the cone completely. What types of curves result? How are each of their properties similar to the other sections? How are they different? This is a possible, and probably simplified, discussion of the flowing of ideas that led to the study of conic sections.

Neugebauer suggests that the origin of the concept is in the theory of sundials, since the sheaf of light rays involved in the design of sundials is a cone which is cut by the plane of the horizon in a hyperbola, and a portion of that hyperbola is then marked out on the sundial.

According to Geminus, the ancients revolved a right triangle about one of its legs to determine a cone. Additionally, only right cones were known. Of these right-angled cones, there are three types. Evidently the vertical angle at the top of the cone could be less than ninety degrees, more than ninety degrees, or exactly ninety degrees (Heath, 1921, p. 111). We will see later when we study Apollonius, that there is a fundamental difference in the types of cones he considers. The segment connecting the "top point" of the cone to the center of the circular base is always a right angle. Apollonius considers a more general form of the cone do not assume the right angle (Heath, 1961, p. 1). Returning the specialized cones from the account of Geminus, these cones were called acute-angled, obtuse-angled, and right-angled cones (not to be confused with right cones, which refer to the revolution of a right triangle). In addition to the two names for hyperbola and parabola given previously, an ellipse was known as a "section of an acute-angled cone" (Heath, 1921, p. 111).

Nothing is known of the methods used by Menaechmus's to deal with these curves (Cajori, 1924, p. 27). Heath discusses what he calls his "probable" method, based on the assumption that Menaechmus's constructions of his curves would likely be rather simple and direct, but instructive enough to demonstrate the salient properties. This will not be discussed any further. Fortunately we have extensive documentation of the treatises of later geometers, notably Appolonius, on the subject of conic sections.

Aristaeus and Euclid

We next come to the (again, lost) works of Aristaeus `the elder' and of the celebrated Euclid on conic sections. Since we do not have the original works by these two men on conic sections, our knowledge of them is derived from the comments of Pappus, whose writings are discussed in Heath, using a translation by Hultsch:

The four books of Euclid's conics were completed by Apollonius, who added four more and produced eight books of conics. Aristaeus, who wrote the still extant five books of solid loci connected with the conics, called one of the conic sections the section of an acute-angled cone, another the section of a right-angled cone and the third the section of an obtuse-angled cone. Apollonius says in his third book that the `locus with respect to three or four lines' had not been completely investigated by Euclid, and in fact neither Apollonius himself nor any one else could have added in the least to what was written by Euclid with the help of those properties of conics only which had been proved up to Euclid's time Apollonius himself is evidence for this fact when he says that the theory of that locus could not be completed without the propositions which he had been obliged to work out for himself. Now Euclid-regarding Aristaeus as deserving credit for the discoveries he had already made in conics, and without anticipating him or wishing to construct anew the same system, being moreover in no wise contentious and, though exact, yet no braggart like the other-wrote so much about the locus as was possible by means of the conics of Aristaeus, without claiming completeness for his demonstrations . (Heath, 1961, pp. xxi-xxii)

Before discussing the implications of Pappus' words, we turn to Proclus to give us some insight into the concept of a "solid locus". He defines a locus to be "a position of a line or surface involving one and the same property" (Heath, 1961, p. xxxii). Loci are divided into two classes, "line-loci", and "surface-loci". Within the line loci are "plane- loci" and "solid-loci". Plane-loci are generated in a plane, like the straight line. Solid-loci are generated from a section of a solid figure, i.e. the cylindrical helix and the conic sections. Pappus makes a division of what Proclus calls the solid-loci. He breaks this category into "linear-loci" and "solid-loci", not to be confused with what Proclus calls solid-loci. Solid-loci, to Pappus, are sections of cones (parabolas, ellipses, and hyperbolas), and linear-loci are more complicated lines than straight lines, circles, and conic sections (Heath, 1961, p. xxxiii).

With this information, along with Pappus' passage, Heath drew several conclusions concerning the works of Euclid and Aristaeus concerning conic sections. First, Aristaeus' treatment of solid loci concentrated on parabolas, ellipses, and hyperbolas, i.e. he considered conics to be loci. Second, Aristaeus' treatise on solid loci came first, and contained more original ideas and theorems than did Euclid's. Pappus says that Euclid wrote about the basic theory of conic sections, targeting his propositions to prepare readers to analyze the solid loci of Aristaeus (Heath, 1961, p. xxxii). Along these same lines, Heath remarks that "Euclid's Conics was a compilation and rearrangement of the geometry of the conics so far as known in his time, whereas the work of Aristaeus was more specialized and more original" (Heath, 1921, pp. 116-7). Third, Aristaeus used the terms "section of right-angled, acute-angled, and obtuse-angled cone", the accepted names for these curves until Apollonius. Finally, The Conics of Euclid was superseded by Conic Sections by Apollonius.

In addition to the ideas above, a key to pull from the work of Aristaeus and Euclid is that they were a source upon which mathematicians based their work upon, or at least consulted. We will see this in action as we continue our discussion with Archimedes and Apollonius.

Archimedes

"No survey of the history of conic sections could be complete without a tolerably exhaustive account of everything bearing on the subject which can be found in the extant works of Archimedes" (Heath, 1961, p. xli). There is no substantiated evidence that he ever wrote an entire work devoted to conic sections, but his knowledge of the subject is obvious in the works we do have. Among the treatise Archimedes published was Quadrature of the Parabola, Conoids and Spheroids, Floating Bodies, and Plane Equilibrium. These works share a common thread-they require the extensive use of the properties of parabolas, Archimedes' specialty amongst the conic sections (Heath, 1921, p. 124).

Heath says that Euclid's Conics is the probable source from which Archimedes adopts basic principles of conics that he assumes without proof (Heath, 1921, p. 122). He uses the "old", pre-Apollonius names for the conic sections (i.e. section of an acute-angled cone = ellipse) (Heath, 1961, p. xlii). Before going on it is important to clarify his vocabulary. Diameters are what we consider to be the axes of the ellipse (both the major and minor). These two diameters are conjugate. The axis of a parabola is also called a diameter, and the other diameters are called "lines parallel to the diameter". The diameter of a hyperbola is the portion of what we consider the axis within the single-branched hyperbola (Archimedes consider the second branch to be part of the same curve). The center of the hyperbola was called the point in which the "nearest lines to the section of an obtuse-angled cone" (asymptotes) meet (Heath, 1921, p. 122).

Heath cites several assumptions Archimedes made on the basis of previous works by the likes of Euclid and Aristaeus. With reference to the central conics:

    The straight line drawn from the center of an ellipse, or the point of intersection of the asymptotes of a hyperbola, through the point of contact of any tangent, bisects all chords parallel to the tangent In the ellipse, the tangents at the extremities of either of two conjugate diameters are both parallel to the other diameter. If a cone, right or oblique, be cut by a plane meeting all the generators, the section is either a circle or an ellipse. If a line between the asymptotes meets a hyperbola and is bisected at the point of concourse, it will touch the hyperbola If x, y are straight lines drawn, in fixed directions respectively, from a point on a hyperbola to meet the asymptotes, rectangle xy is constant. With reference to parabolas in particular, Parallel chords are bisected by one straight line parallel to the axis, which passes through the point of contact of the tangent parallel to the chords. If the tangent at Q meet the diameter PV in T, and QV be the ordinate to the diameter, PV = PT [see Apollonius for definition of ordinate]. All parabolas are similar (Heath, 1921, pp. 123-24)

The nature of Archimedes' writings seems to be such that he only proves what is not reasonably obvious to a trained mathematician. What was obvious to Archimedes, however, does not always coincide with what is obvious to most people! By the same argument, the propositions that Archimedes does prove tend to be very difficult. Archimedes seemed to be less concerned with developing a complete, systematic treatment of the conics (which in any case was accessible in the now lost works of others), but rather with using what was already established and/or easily proved develop deep and challenging theorems. For this reason, this paper, while it has given a basic background of the assumptions and basic trends of Archimedes' study, will not examine the original proofs he gave.

Apollonius

Along with Euclid and Archimedes, Apollonius is the third member of the trio of great geometric minds of Ancient Greece. "It is no exaggeration to say that almost every significant subsequent geometrical geometric, right up to and including the present time, finds its origin in some work of these three great scholars" (Eves, 1963, 25). Only a small amount of information is known about the life of Apollonius. He was born in the city of Perga, in Pamphylia, which was is located in southern Asia Minor, now Turkey. The date of his birth again is agreed upon by both Eves and Heath to be approximately 262 B.C., that is, approximately 25 years after the birth of Archimedes. As a young man he traveled to Alexandria to study with the successors of Euclid. He flourished during the reign of Ptolemy Euergetes ("The Benefactor", 247-222 B.C.). He continued to be a recognized scholar during the reign of Ptolemy Philopator (222-205 B.C.). (Heath, 1921, 126). It is also known that he visited Pergamum, where he met Eudemus, to whom he dedicated the first two books of his Conic Sections (Heath, 1921, 126). The third through seventh books (and possible the eighth, which is lost) were dedicated to King Attalus I (241-197 B.C.), a fact which has helped historians estimate the years of his lifetime.

Four of Apollonius' eight books have come down to us in Greek. The eighth book is completely lost - we do not even have any knowledge of its contents. Books V-VII have reached us in an Arabic translation, whose date is debatable. Eves and Heath consider it to be a ninth century translation (Eves, 1990, p. 171). Cajori on the other hand writes of a 1250 translation, without any mention of the ninth century one (Cajori, 1924, 38). Two brothers from the family Muh, Ahmad and al-Hasan, first contemplated translating Conic Sections into Arabic during the ninth century. They almost lost interest due to the poor condition of their manuscripts. Ahmad received a copy of Eutocius' edition of Books I-IV and had them translated by Abi Hilal al-Himsi (died 883/4). He then gave a different manuscript of books V-VII to Thabit ibn Qurra (lived 826-901) to translate. Confirming Cajori's mention of the 1250 translation, Heath reports that in 1248, another translation was made by Nasir ad-Din (Heath, 1921, p. 127).

Apollonius opens each of his surviving books with a preface. The preface to Book I, which serves as a general preface for the whole series, and to Book V have been included in Appendix A. From the general preface we learn that the first four books of Conic Sections completed and formalized the previous work known to Apollonius at the time. According to Heath, Apollonius never claims the material covered in the first four books to be original, except for certain theorems in Book III, and the investigations in Book IV. What he does contend, however, is that his treatise is more complete and rigorous than previous works on the subject, which agrees with the comments of Pappus (Heath, 1961, p. lxxvii). Unlike most of the first four books, books five through seven covered new concepts which went beyond the "essentials". Heath states, The real distinction between the first four books and the fifth consists rather in the fact that the former contain a connected and scientific exposition of the general theory of conic sections as the indispensable basis for further extensions of the subject in certain special directions, while the fifth Book is an instance of such specialization the same is true of the sixth and seventh books (Heath, 1961, p. lxxvi).

Before we examine individual propositions from Conic Sections , it might be appropriate to mention the origin of the names of the conic sections as we know them to be today. According to Eves, the terms "ellipse", "parabola", and "hyperbola" were adopted from early Pythagorean vernacular referring to the "application of areas" (the form of "geometric algebra" recorded in Euclid's Elements , Book II. When applying a rectangle to a line segment [by aligning one edge of the rectangle to the segment with one corner of the rectangle matching up with one endpoint], the "other" corner of the rectangle either fell short of, met exactly, or exceeded the end of the segment. These three cases were respectively called "ellipsis", "parabole", or "hyperbole". Eves shows how these terms were applied in a similar spirit to the conic sections by Apollonius in the following manner:

    Let AB be the principal axis of a conic. Let P be any point on the conic. Let Q be the foot of the perpendicular to AB. Mark off a distance AR, perpendicular to AB by a distance now known as the latus rectum or parameter of the curve. Apply to the segment AR, a rectangle having for one side AQ and an area equal to (PQ)². If the rectangle exceeds the segment AR, then the conic is a hyperbola. If the rectangle coincides with the segment AR, then the conic is a parabola. If the rectangle falls short of the segment AR, then the conic is an ellipse. (Eves, 1963, pp. 30-1)

This argument alone does not seem to be a proof, or even a definition. As it is written, it certainly does not appear in Apollonius' Conic Sections, though, later, when his propositions are discussed, a similarity to these will be evident. Eves statements, however, do seem to check out when one follows the steps. The first three statements are clear, and common to all three cases. Not explicitly stated, let F be a focus of the given conic section, and K an endpoint of the latus rectum. Here are examples (non-Greek) of each of the three cases:

Before we go into Apollonius' method for proving these relationships, it would only be appropriate to start, as he did, by defining the relevant terms.

If a straight line indefinite in length, and passing always through a fixed point, be made to move round the circumference of a circle which is not in the same plane with the point, so as to pass successively through every point of that circumference, the moving straight line will trace out the surface of a double cone, or two similar cones lying in opposite directions and meeting in the fixed point, which is the apex of each cone.

The circle about which the straight line moves is called the base of the cone lying between the said circle and the fixed point, and the axis is defined as the straight line drawn from the fixed point or the apex to the center of the circle forming the base.

The cone so described is a scalene or oblique cone except in the particular case where the axis is perpendicular to the base. In this latter case the cone is a right cone.

If a cone be cut by a plane passing through the apex, the resulting section is a triangle, two sides being straight lines lying on the surface of the cone and the third side being the straight line which is the intersection of the cutting plane and the plane of the base.

Let there be a cone whose apex is A and whose base is the circle BC, and let O be the center of the circle, so that AO is the axis of the cone. Suppose now that the cone is cut by any plane parallel to the plane of the base BC, and DE, and let the axis AO meet the plane DE in o. Let p be any point on the intersection of the plane DE and the surface of the cone. Join Ap and produce it to meet the circumference of the circle BC in P. Join OP, op.

Then, since the plane passing though the straight lines AO, AP cuts the two parallel planes BC, DE in the straight lines OP, op respectively, OP, op are parallel.

And, BPC being a circle, OP remains constant for all positions of p on the curve DpE, and the ratio Ao : Ao is also constant.

Therefore, op is constant for all points on the section of the surface by the plane DE. In other words, that section is a circle.

Hence all sections of the cone which are parallel to the circular base are circles (Heath, 1961, pp. 1-2).

Conic Sections continues to define a diameter to be a straight line bisecting each of a series of parallel chords of a section of a cone. In each of the examples below, PP' is a diameter:

In the figures above, if QQ' is bisected by diameter PP' at V, then PV is called an ordinate, or a straight line drawn ordinate-wise. The length PV cut off from the diameter by any ordinate QV is called the abscissa of QV (Heath, 1961, pp. 7-8).

We now turn to Apollonius' definitions of the conic sections as we attempt to connect them to the definition Eves gave above. The case of the parabola will be given as an example of Apollonius' developments:

First let the diameter PM of the section be parallel to one of the sides of the axial triangle as AC, and let QV be any ordinate to the diameter PM. Then if a straight line PL (supposed to be drawn perpendicular to PM in the plane of the section) be taken of such a length that PL:PA = BC² : BA.AC , it is to be proven that QV² = PL.PV

Let HK be drawn through V parallel to BC . Then, since QV is also parallel to DE , it follows that the plane through H, Q, K is parallel to the base of the cone and therefore produces a circular section whose diameter is HK . Also QV is at right angles to HK.

Now, by similar triangles and parallels,

HV : PV = BC : AC and VK : PA = BC : BA.

Hence, QV² : PV.PA = PL : PA = PL.PV : PV.PA

It follows that the square on ay ordinate to the fixed diameter PM is equal to a rectangle applied to the fixed straight line PL drawn at right angles to PM with altitude equal to the corresponding abscissa PV. Hence the section is called a Parabola .

The fixed straight line PL is called the latus rectum , or the parameter of the ordinates.

This parameter, corresponding to the diameter PM , will be denoted by the symbol p below. هكذا،

This proof differs from that given above, for the earlier exercise assumed the focus to be known. Apollonius chooses PL in such a way that it represents the latus rectum, or focal width of the curve. Due to the earlier development, that any plane parallel to the base and cutting the cone completely is a circle. Through the use of the sets of parallel lines QV and DE, HK and BC, and through the similar triangles HKA and BCA, it follows rather directly as Apollonius states. Just like in the previous demonstration (Eves), the square of the ordinate (QV²) is equal to the length of the latus rectum (PL) times the abscissa of QV (PV).

Apollonius' definitions of the hyperbola and ellipse follow along a similar line. For the hyperbola, the area of the rectangle (set equal to the square of the ordinate) overlaps the fixed latus rectum. For the ellipse, the area of the rectangle falls short of the fixed latus rectum. Reiterating from before, Heath suggests that these definitions indicate that the names come from the Pythagorean terms relating to the application of areas to segments.

The final topic of Apollonius' Conic Sections to be considered is his treatment of tangents. He develops this topic in both Book I and Book V. Book V introduces the idea of "maximum" and "minimum" lines to refer to tangents and normals, respectively. This book, considered by Eves to be "the most remarkable and original" of the seven we have today, quickly becomes very difficult to read and follow. The propositions and relationships it proves, which today are more easily shown using differential calculus, are rigorously explored in the classic Greek geometric fashion (Heath, 1961, pp. lxxv-lxxvi). Preliminary theorems, however, are not terribly difficult to follow. First we will look at two propositions from the first book concerning tangents (one will be stated and discussed, the other formally proved), and then we will look at one Book V theorem.

Proposition 11 states, If a straight line be drawn through the extremity of the diameter of any conic parallel to the ordinates to that diameter, the straight line will touch the conic, and no other straight line can fall between it and the conic (Heath, 1961, p. 22). That is, no straight line can fit between a tangent line and the curve to which it is tangent. This seems like a reasonable statement, related to the definition of tangent line used later in the development of the calculus (though, among other things, too "global" in scope).

Apollonius proves this in two cases, one for a parabola, and one for the ellipse, hyperbola, and circle [interesting that he would include the circle].

Proposition 12: If a point T be taken on the diameter of a parabola outside the curve and suh that TP = PV, where V is the foot of the ordinate from Q to the diameter PV, he line TQ will touch the parabola.

We have to prove that the straight line TQ or TQ produced does not fall within the curve on either side of Q.

For, if possible, let K, a point on TQ or TQ produced, fall within the curve, and through K draw Q'KV' parallel to an ordinate and meeting the diameter in V' and the curve in Q'.

Then Q'V'² : QV² > KV'² : QV², by hypothesis, > TV'² : TV²

Hence, 4TP.PV' : 4TP.PV > TV'² : TV²

But, since by hypothesis TV' is not bisected in P,

which is absurd. Therefore, TQ does not at any point fall within the curve, and is therefore a tangent.

The figure for this proof by contradiction can be redrawn to show what is being assumed, that there exists a point K on TQ such that K lies inside the parabola. We then construct KQ'V' parallel to the ordinate QV.

Then, using our assumption that Q'V' > KV', the given TP = PV, and the similar triangles TVP and TV'Q', we arrive at the contradiction.

We now move ahead to Book V to get a feel for Apollonius' idea of minimum with a simple case of the concept:

Proposition 82 In a parabola, if E be a point on the axis such that AE is equal to half the latus rectum, then the minimum straight line from E to the curve is AE and, if P be any other point on the curve, PE increases as P moves further from A on either side. Also, for any point:

Let AL be the parameter or latus rectum. Then, PN² = AL.AN = 2AE.AN

Adding EN², we have, EN² = 2AE.AN + EN² = 2AE.AN + (AE - AN)² = AE² + AN

Thus, PE² > AE² and increase with AN, i.e. as P moves further and further from A. Also the minimum value of PE is AE, or AE is the shortest straight line from E to the curve.

[In this proposition, as well as many others in Book V, Apollonius considers three cases, where N is between A and E, where N coincides with E and PE (perpendicular to axis), and where AN is greater than AE-we will only consider this one case for brevity's sake]

The proof starts by stating the general relationship between the ordinate, abscissa, and latus rectum of a parabola. This is a special case of the parabola in which E is chosen on the diameter such that AE is half the latus rectum, which is reflected in the rewriting of the original relationship. Because PN is perpendicular to PE, EN² is added to both sides of the equation, and due to the Pythagorean Theorem, the left-hand-side of the equation reduces to PE². The rest of the proof follows easily.

استنتاج

This paper has attempted to provide a systematic introduction to the work of the Greek geometers involved in the development of conic section theory. It started with the work of Menaechmus, who first used conics to solve the doubling of the cube. It is unknown how many properties of the conics he knew, though it is generally accepted he did know they came from the cutting of a cone. After Menaechmus, Aristaeus and Euclid formalized and expanded upon the conics (Aristaeus was more original). Then came the great Archimedes, who used the elementary theory of conic sections to develop important concepts about parabolas, and extended that far beyond the scope of this paper. The culmination of the subject came at the hands of Apollonius, who, in eight volumes, rigorously developed all that was known about conic sections before him, and added a multitude of propositions that were original (we believe) to him, so much in fact that Eves notes, "The treatise is considerably more complete than the usual present-day college course in the subject".

After the era of these great mathematicians, there was a lull in the growth of conic sections until Pappus. He expanded upon much of what was known, and also proved to be a valuable source to modern math historians trying to learn about the Greek methods. With the passing of Pappus and perhaps Proclus, conics disappeared for over 1000 years until being re-born in the 15th and 16th centuries. Though the work of scientists and mathematicians, like Kepler who was both, conics evolved from a novel intellectual exercise in Ancient Greece, to a powerful modeling tool for explaining the physical laws of the universe.

Selected Prefaces to Conic Sectons (Translated by Halley, Printed in Heath)

Apollonius to Eudemus, greeting.

If you are in good health and circumstances are in other respects as you wish, it is well I too am tolerably well. When I was with you in Pergamum, I observed that you were eager to become acquainted with my work in conics therefore I send you the first book which I have corrected, and the remaining books I will forward when I have finished them to my satisfaction. I daresay you have not forgotten my telling you that I undertook the investigation of this subject at the request of Naucrates the geometer at the time when he came to Alexandria and stayed with me, and that, after working it out in eight books, I communicated them to him at once, somewhat too huuriedly, without a thorough revision (as he was on the point of sailing), but putting down all that occurred to me, with the intention of returning to them later. Wherefore I now take the opportunity of publishing each portion from time to time, as it is gradually corrected. But, since it has chanced that some other persons also who have been with me have got the first and second books before they were corrected, do not be surprised if you find them in a different shape.

Now of the eight books the first four form an elementary introduction the first contains the modes of producing the three sections and the opposite branches [of the hyperbola-Heath] and their fundamental properties worked out more fully and generally than in the writings of other authors the second treats the properties of the diameters and axes of the sections as well as the asymptotes and other things of general importance and necessary for determining limits of possibility, and what I mean by diameters and axes you will learn from this book. The third book contains many remarkable theorems useful for the synthesis of solid loci and determinations of limits the most and prettiest of these theorems are new, and, when I discovered them, I observed that Euclid had not worked out the synthesis of the locus with respect to three and four lines, but only a chance portion of it and that not successfully: for it was not possible that the synthesis could have been completed without my additional discoveries. The fourth book shows in how many ways the sections of cones meet one another and the circumference of a circle it contains other matters in addition, none of which has been discussed by earlier writers, concerning the number of points in which a section of cone or the circumference of a circle meets [the opposite branches of a hyperbola-Heath].

The rest [of the books-Heath] are more by way of suplusage [`more advanced' but literally implies extensions of the subject beyond the mere essentials-Heath in the form of a footnote]: one of them deals somewhat fully with minima and maxima, one with equal and similar sections of cones, one with theorems involving determination of limits, and the last with determinate conic problems.

When all the books are published it will of course be open to those who read them to judge them as they individually please. Farewell.

Apollonius to Attalus, greeting.

In this fifth book I have laid down propositions relating to maximum and minimum straight lines. You must know that our predecessors and contemporaries have only superficially touched upon the investigation of the shortest lines, and have only proved what straight lines touch the sections and, conversely, what properties they have in virtue of which they are tangents. For my part, I have proved these properties in the first book (without however making any use, in the proofs, of the doctrine of the shortest lines) inasmuch as I wished to place them in close connection with that part of the subject in which I treated of the production of the three conic sections, in order to show at the same time that in each of the three sections numberless properties and necessary results appear, as they do with reference to the original (transverse) diameter. The propositions in which I discuss the shortest lines I have separated into classes, and dealt with each individual case by careful demonstration I have also connected the investigation of them with the investigation of the greatest lines above mentioned, because I considered that those who cultivate this science needed them for obtaining a knowledge of the analyis and determination of problems as well as for their synthesis, irrespective of the fact that the subject of one of those which seem worthy of study for their own sake. Farewell.


The Curious Case of the Tomb of Archimedes

The Curious Case of the Tomb of Archimedes

This is the case of the Tomb of Archimedes: you think you know where it is? Cicero found it and accused the Syracusans of negligence. But where is the tomb?

We Syracusans are really peculiar people, we have a historical legacy that traces back millenia, but an incredibly short memory! Our most illustrious fellow citizens who have changed history are celebrated little or nothing at home, and for centuries were wrapped in oblivion and indifference.

This was the case for the famous Archimedes, whom after his death was (almost) forgotten. Certainly the Syracusans must have had other things on their mind for them not to celebrate their most important citizen, to the point of forgetting his burial site.

Only Cicero, who only visited Syracuse a few centuries after the inventor’s death, took care to look for the grave and pay his respects.

يوريكا! The tomb was discovered in 75 B.C., cleaned and restored to its former glory unfortunately it did not last long: it mattered little in the average Syracusans day-to-day life and soon the tomb was again forgotten and left to itself.

“Once, while I was superintendent in Syracuse, I brought out from the dust Archimedes, a distinguished citizen of that city. In fact, I searched for his tomb, ignored by the Syracusans, surrounded on all sides and covered with brambles and weeds. The Syracusan denied absolutely that it existed, but I possessed the senari verses written on his tomb, according to which on top of the tomb of Archimedes a sphere with a cylinder had been placed. But I was examining everything with the eyes … And shortly after I noticed a small hill not far emerged from the bushes. On it there was the figure of a sphere and a cylinder. And I said immediately to the Syracusans “That’s what I wanted!” – Cicero, 75 BC

Of course if Cicero was still alive he would shudder at the sight of how his striking discovery has been completely ignored for all these centuries indifference and carelessness has remained a constant in the Syracuse character, from generation to generation it has been passed down to the present day.

You think you know where the tomb of Archimedes is? And instead..

I often hear people say, “Here is the tomb of Archimedes,” pointing to the most ornate tomb out of the many tombs in the “little caves” necropolis (next to an information banner). This position attributed by the Syracusans is absolutely wrong!

In fact the alleged tomb of Archimedes is nothing more than a Roman columbarium, that is a burial chamber from the Roman period, surely built a few centuries after the death of the mathematician!

But then where is this tomb of Archimedes?

According to some rumors the tomb was found under a famous hotel in Via Grotticelle Necropolis the “cuttigghi” Syracusans are full of conspiracies and power games and who knows if they really have a minimum of foundation.

Surely history tells us what is false.

Cicero said that the tomb of Archimedes had a carved cylinder and sphere, which paid tribute to the great contribution that the scholar gave in mathematics and physics: these signs are not present in any tomb of the necropolis!

As the famous proverb goes: “Every lie in the long run becomes truth” and who knows if in a hundred years this false historical fact, which is only used to enchant the tourists, may not in the end become the “true” tomb of Archimedes!


شاهد الفيديو: قاعدة أرخميدس كيف نقيس بها حجم علاقاتنا (يوليو 2022).


تعليقات:

  1. Amold

    لا محادثات!

  2. Akikasa

    يا لها من رسالة رشيقة

  3. Conall Cernach

    أنا آسف ، لكن في رأيي أنت مخطئ. أنا متأكد. نحن بحاجة إلى مناقشة. اكتب لي في PM ، وتحدث.

  4. Kazigal

    تتم إزالته (لديه موضوع مختلط)

  5. Tegis

    بدلا من النقد اكتب المتغيرات.



اكتب رسالة